Operações com números reais

Por: Redação | Canal: Mamemática

 

  • 1ª Parte:
    • Caracterização do conjunto R dos números reais
      • Corpo (ou Corpo Comutativo)
        • Axioma da Adição
        • Axioma da Multiplicação
        • Axioma da Distributividade
      • Corpo Ordenado
    • Números Racionais
    • Números Irracionais
    • Números Reais
      • Propriedades dos números reais
  • 2ª Parte:
    • Potência e Raízes
      • Expoente Inteiro
      • Propriedades de Potência com Expoente Inteiro
      • Raizes
      • Potência com Expoente Racional da Forma "1"/n
      • Expoente Racionais Quaisquer

 

Caracterização do conjunto R dos números reais

Corpo (ou Corpo Comutativo)

Dado um conjunto K, com pelo menos dois elementos, dizemos que K é um corpo (ou corpo comutativo) se, e somente se, estão definidas em K duas operações, uma das quais chamamos de adição e a outra de multiplicação. A adição relaciona o par (a, b), a, b ∈ K à sua soma a + b e a multiplicação relaciona o par (a, b), a, b ∈ K ao seu produto a . b (ou ab), que satisfazem os seguintes axiomas:

Axioma da Adição

∀ a, b, c ∈ K(a + b) + c = a + (b + c)(associatividade)
∀ a, b ∈ Ka + b = b + a(comutatividade)
∃ 0 ∈ K, ∀ a ∈ Ka + 0 = a(0: elemento neutro)
∀ a ∈ K, ∃ - a ∈ Ka + (- a) = 0(-a: oposto de a)

Axioma da Multiplicação

∀ a, b, c ∈ K(ab)c = a(bc)(associatividade)
∀ a, b ∈ Kab = ba(comutatividade)
∃ 0 ∈ K, ∀ a ∈ Ka . 1 = a(1: elemento neutro)
∀ a ∈ K - {0}, ∃ a-1 ∈ Ka . a-1 = 1(a-1: inverso de a)

Axioma da Distributividade

∀ a, b, c ∈ Ka(b + c) = ab + ac(distributividade da multiplicação em relação à adição)

Corpo Ordenado

K é um corpo ordenado se, e somente se, existe um subconjunto P ⊂ K, tal que:
∀ a, b ∈ Pa + b ∈ P e a . b ∈ P(P: conjunto dos elementos positivos de K)
∀ x ∈ Kx = 0 ∨ x ∈ P ∨ -x ∈ P

Números Racionais

Para a ∈ Z, b ∈ Z*, números escritos na forma a/b são números racionais. Assim:

Q = { x : x = a/b ; a ∈ Z ; b ∈ Z* }

Em a/b, a é o numerador, b é o denominador. Para c ∈ Z*, (a . c) / (b . c) = (a : c) / (b : c)

Dados os racionais a/b e c/d, as frações a/b e c/d dizem-se equivalentes se, e somente se: a/b = c/d (ou ad = bc)

Todo racional escrito na forma de fração pode ser escrito na forma de numeral decimal. Os numerais decimal podem ser dos tipos a seguir:
  1. Numerais decimais exatos: 0,563
  2. Dízimas periódicas simples: 0,666...
  3. Dízimas periódicas compostas: 0,161616...
  4. Numerais decimais não-periódicos: 0,123456...
Todos os decimais anteriores, com exceção dos numerais decimais não-periódicos, podem ser escritos na forma de fração; podemos concluir que há numerais decimais que não denotam números racionais.

A maneira pela qual se tranformam numerais decimais em frações, quando possível, pode ser descrita pelos exemplos:
  1. 0,368 = 368/1000
  2. 0,66666... = 6/9 = 2/3
  3. 0,2843 = (2843 - 2) / 9990

Números Irracionais

Já vimos que há certos números que não podem ser escritos na forma de fração. Tais números denominam-se números irracionais. Há infinitos irracionais. Exemplo: todos números da forma √n, para n ∈ N e n primo.

Número racional e número irracional

A partir dessas definições, podemos afirmar que:
  1. Existem infinitos racionais e infinitos irracionais.
  2. Se x é um número (racional ou irracional) diferente de y (racional ou irracional), então existem números racionais e irracionais entre x e y.
  3. Q ∩ (R - Q) = Ø; não há nenhum número que seja racional e irracional.

Números Reais

O conjunto Q ∩ (R - Q) é chamado conjunto dos números reais. Cada número real pode ser realacionado a um único ponto de uma reta e cada ponto da mesma a um único número real. As propriedades comuns aos números racionais e irracionais são propriedades dos números reais.

Propriedades dos números reais

Propriedade de Fechamento: adição, subtração, multiplicação, divisão (R*).

Para todo a, b ∈ R: a + b ∈ R ; a - b ∈ R ; a . b ∈ R
Para a ∈ R, b ∈ R* , a/b ∈ R
Observação:
  1. A soma, o produto, a diferença e o quociente (por um racional não-nulo) de números racionais são sempre números racionais.
  2. A soma, a diferença, o produto e o quociente de números irracionais podem ou não ser um número irracional.
  3. A soma ou diferença de um racional e um irracional é sempre irracional. O produto e o quociente de um racional não-nulo por um irracional é sempre irracional. O quociente de um irracional por um racional não-nulo é sempre irracional.

Continua...

 

 

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