Conjuntos

Introdução

"O conceito de conjunto, ou classe, é tão fundamental que, quando solicitados a defini-los, dificilmente podemos fazer mais do que propor sinônimos e exemplos. Entre os sinônimos, estão os termos 'coleção', 'agregação', 'totalidade'. Assim, podemos dizer que qualquer coleção de objetos constitui um conjunto, mas talvez isso não seja mais esclarecedor do que se disséssemos que qualquer conjunto de objetos constitui uma coleção. Nenhum dos sinônimos é inteiramente acertado.

'Coleção', por exemplo, conota 'colecionar', mas não é, de maneira alguma, essencial que os elementos de um conjunto devam estar colocados uns na proximidade dos outros. Talvez o único método satisfatório de caraterizar os conjuntos seja o rescurso aos axiomas, mas, de momento, idéia aproximada e intuitiva deve bastar.

Os objetos que formam um conjunto são chamados elementos ou membros. Cada conjunto é determinado unicamento por seus elementos; em outras palavras, conjuntos que reúnam os mesmos elementos são idênticos. Costuma-se usar o símbolo ∈ para a frase 'é um elemento (ou membro) de', de modo que, se, por exemplo, a letra 'P' denota o conjunto de números primos, a senteça 7 ∈ P significa que 7 é um elemento do conjunto de números primos - em outras palavras, que 7 é um número primo.

Os conjuntos estão intimamente relacionados com as formas sentenciais de uma variável livre; com algumas restrições, podemos dizer que para cada forma sentencial de uma variável livre há um conjunto cujos elementos são exatamente os objetos que satisfazem a forma. Assim correspondente à forma sentencial x é um homem há o conjunto de homens; correspondente à forma x é um número par inteiro e x é divisível por 3 há o conjunto de todos os inteiros pares divisíveis por 3. Nem todo conjunto, entretanto, está associado dessa maneira a uma forma sentencial, pois pode ser demonstrado que há mais conjuntos do que formas sentenciais.

Consideremos alguns outros exemplos de conjuntos. Há um conjunto que tem como elementos todos os objetos que satisfazem a forma sentencial x é diferente de x. É claro que esse conjunto não tem elementos; é chamado conjunto vazio será denotado por 'Ø'. Uma vez que os conjuntos são determinados unicamente por seus elementos, há apenas um conjunto desse tipo, justificando-se falar em o conjunto vazio.

Dado um nome N de um objeto, podemos construir uma forma sentencial correspondente, escrevendo N no espaço em branco da expressão x é idêntico a ______

O conjunto de todos os objetos que satisfazem essa forma terá exatamente um elemento, a saber, o objeto denotado por N. Assim, para a forma sentencial x é idêntico a Sócrates temos o conjunto cujo único elemento é Sócrates; esse conjunto é denotado por {Sócrates}.

Analogamente, sendo N e N' nomes de objetos, o conjunto de todos os objetos que satisfazem a forma sentencial resultante da colocação de N e N', respectivamente, no primeiro e segundo claros da expressão x é idêntico a ______ ou x é idêntico a ______ é um conjunto e tem no máximo dois objetos por elemento, sendo chamado par ou dupla. Se os nomes dados são 'Sócrates' e 'Platão', a dupla será denotada por {Sócrates, Platão}.

De modo geral, a notação {x} representará a forma descritiva 'o conjunto cujo único elemento é x; analogamente, a notação {x,y} representará a forma descritiva 'o conjunto cujos únicos elementos são x e y', e assim por diante.

Assim, {6,8} denota o conjunto cujos únicos elementos são os números 6 e 8, e {6,8,2,6} denota o conjunto cujos únicos elementos são os números 6, ,8 2 e 6 - que é, claro, o mesmo que o conjunto cujos elementos são os números 6, 8 e 2.

Temos, assim, {6,8,2,6} = {6,8,2}"

• Dois conjuntos são iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. ~A = B escreve-se A ≠ B
• Se A é um conjunto e B é um conjunto, dizemos que A é um subconjunto de B e denotamos A ⊂ B se, e somente se, todo elemento de A também é elemento de B. "A ⊂ B" também se lê "A está incluído em B" ou "A está contido em B" ou "B contém A", e pode ser denotado também por "B ⊃ A".
• Propriedades: para quaisquer conjuntos A, B e C tem-se: ∅ ⊂ A; A ⊂ A; A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C; A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
• Se A não é subconjunto de B, indicamos "A B".

Ao estudarmos conjuntos e as relações existentes entre os mesmos, é útil, algumas vezes, representar diagramaticamente os conjuntos: traça-se um retângulo para representar o conjunto universo e dentro do retângulo representa-se cada conjunto com uma região do plano limitada por uma curva que não corta a si mesma, de tal modo que as relações entre os conjuntos apareçam nesses desenhos. Assim, por exemplo, se sabermos que os conjuntos A e B, não vazios, não têm elementos comuns, podemos representar esta situação através do seguinte diagrama:

Se A e B têm elementos comuns A B ∧ B A, representamos:

Se B ⊂ A e B ≠ A, podemos representar esta situação com o diagrama:

Se A ⊂ B e A ≠ B, representamos:

Se A = B, representamos:

Se sabemos de tres conjuntos A, B e C que A ⊂ B e A ≠ B e B e C nao têm elementos comuns, então podemos representar essa situação por meio do diagrama:

Assim, dado um número finito de conjuntos, podemos representá-los desta maneira.

Esses diagramas são chamados de "Diagramas de Venn" ou "Diagramas de Euler" ou "Diagramas de Venn-Euler".

• Os conjuntos podem ser combinados de certos modos para formar novos conjuntos. Se A é conjunto e B é conjunto, então a intersecção de A e B, em símbolos A ∩ B e o conjunto que tem como elementos os elementos pertencentes a A e a B. Ou, de outra maneira, A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

Utilizando os Diagramas de Venn-Euler, hachuramos A ∩ B.

• Se A e B são conjuntos e A ∩ B = Ø, dizemos que A e B são disjuntos.
• Se A é conjunto e B é conjunto, então a união do A e B, em símbolos A ∪ B é o conjunto que tem como elementos, os elementos que pertencem a A ou a B, ou a ambos ou, de maneira equivalente. A ∪ B = { x : x ∈ A ∨ x ∈ B}. Utilizando os diagramas de Venn, hachuramos A ∪ B.